Rigidezza Laterale di un Telaio – Formulazione di Wilbur

[La rigidezza laterale è un parametro fondamentale per l’analisi delle strutture edilizie sottoposte a carichi orizzontali, come quelli generati da eventi sismici e forti venti. Conoscere la rigidezza laterale è essenziale per determinare gli spostamenti laterali nell’analisi statica e per calcolare gli spostamenti e le proprietà dinamiche, quali frequenze e forme modali, nell’analisi dinamica.

Nonostante l’avanzamento dei software di analisi strutturale abbia semplificato la creazione di modelli computazionali complessi, permane la necessità di disporre di modelli matematici più semplici. Questi modelli, tra cui la formulazione di Wilbur, consentono di approssimare la rigidezza laterale con una precisione ragionevole, fornendo stime del comportamento strutturale. Per l’ingegnere strutturale, le tecniche di predimensionamento basate su un’analisi approssimata della rigidezza laterale sono utili per ottenere valutazioni preliminari o per verificare i risultati di analisi computazionali più sofisticate. Un modello tipico, che può essere calcolato utilizzando il principio di Rayleigh, impiega masse concentrate su ogni piano e molle di traslazione che rappresentano la rigidezza laterale di ciascun livello.

Principi Fondamentali per l’Analisi di Rigidezza Laterale

L’applicazione di formulazioni per la rigidezza laterale richiede il rispetto di specifiche condizioni fondamentali per garantire la validità dell’analisi:

• Compatibilità: La deformazione deve essere una funzione continua e assumere un valore univoco in ogni punto. Di conseguenza, anche i movimenti devono essere continui, e in particolare, i movimenti agli estremi degli elementi che confluiscono in un medesimo nodo sono identici per tutti gli elementi coinvolti.
• Equilibrio: Ogni nodo e ogni elemento strutturale nel piano di analisi deve trovarsi in equilibrio statico, sotto l’azione delle forze esterne e delle sollecitazioni interne.
• Equazioni costitutive (linearità): La struttura deve comportarsi linearmente sia a livello locale (relazione tensione-deformazione secondo la Legge di Hooke), sia a livello globale (relazioni spostamento-deformazione e forze-tensioni, secondo l’ipotesi dei piccoli movimenti). Per tale ragione, si considera valido il principio di superposizione degli effetti.

La Formulazione di Wilbur per la Rigidezza Laterale

La formulazione di Wilbur considera un modello matematico idealizzato basato su masse e molle, dove la massa è concentrata nelle solette di ciascun solaio. La rigidezza laterale è definita come il rapporto tra il taglio assorbito da un telaio a un determinato livello e lo spostamento relativo tra due livelli consecutivi. Questo approccio è utile per strutture a telaio regolari, costituite da elementi strutturali con inerzia costante.

Classificazione delle Strutture

In base allo stato di deformazione e alla curvatura dei pilastri, è possibile distinguere due tipologie principali di strutture:

• Strutture a taglio (shear-type structures), nelle quali la rigidezza di interpiano risulta indipendente dalla distribuzione dei carichi laterali.
• Strutture a flessione (bending moment-deflecting cantilever structures), dove non sussiste tale indipendenza tra la rigidezza di interpiano e la distribuzione dei carichi applicati.

Il Parametro $\alpha$ di Classificazione

Per determinare se il comportamento di un telaio è principalmente a taglio o a flessione (a mensola), si utilizza il parametro $\alpha$. Questo parametro è definito come un indice relativo di rotazione tra travi e pilastri.
In base al valore di $\alpha$, si può specificare il comportamento della struttura:

• $\alpha \ge 0.10$: La struttura è considerata a taglio (shear-type structure).
• $\alpha \le 0.01$: La struttura è considerata a flessione (bending moment-deflecting cantilever structure).
• $0.01 < \alpha < 0.10$: Il comportamento della struttura non può essere definito con precisione, il che potrebbe introdurre errori nell'analisi.

Ipotesi di Base della Formulazione di Wilbur

Le formule di Wilbur si basano sulle seguenti ipotesi:

• Le rotazioni nei nodi di un livello e di quelli adiacenti sono uguali, eccetto per il livello iniziale, dove si considera un incastro o una cerniera.
• Nei due piani adiacenti, i tagli agenti hanno lo stesso valore del taglio del piano in esame.

Applicazione delle Formule di Wilbur

Considerando le premesse sopra descritte, la formulazione di Wilbur fornisce espressioni specifiche per la rigidezza laterale del primo livello, del secondo livello e dei restanti livelli intermedi. Le variabili utilizzate in queste formulazioni sono:

• $K_n$: Rigidezza del piano “n”.
• $K_{v_n}$: Rigidezza relativa $(I_v/L)$ delle travi del livello sovrastante il piano “n”.
• $K_{c_n}$: Rigidezza relativa $(I_c/h)$ dei pilastri del piano “n”.
• $n-1$, $n$, $n+1$: Indici che identificano tre livelli consecutivi dal basso verso l’alto, dove “n” è il piano analizzato.

La formulazione di Wilbur rappresenta uno strumento di approssimazione per il predimensionamento o per la verifica dei risultati ottenuti con software di modellazione. Per una comprensione più approfondita dei concetti e delle procedure, un esempio pratico sarà presentato in una prossima pubblicazione, con l’obiettivo di illustrare l’applicabilità e la coerenza dei risultati derivanti dalle premesse fondamentali.

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